Question

5．以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中的單位長(zhǎng)度相同．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（${\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），曲線(xiàn)C在直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cost\\ y=\sqrt{2}sint\end{array}$（t為參數(shù)），曲線(xiàn)C在點(diǎn)A處的切線(xiàn)為l．
（1）求切線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)P直角坐標(biāo)為（-$\frac{1}{4}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$），過(guò)點(diǎn)P任作一直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）化參數(shù)方程與普通方程，求出圓的圓心與半徑，求出切線(xiàn)的斜率，然后求解切線(xiàn)方程，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．
（2）OP⊥AB時(shí)，|AB|取得最小值，此時(shí)|OP|=$\frac{1}{2}$，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：（1）因?yàn)榍�線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cost\\ y=\sqrt{2}sint\end{array}$（t為參數(shù)），
所以其普通方程為x²+y²=2，即曲線(xiàn)C為以原點(diǎn)為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓．…（5分）
由于點(diǎn)A（${\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}}$），即（1，1）在圓上，且該圓過(guò)（1，1）點(diǎn)的半徑的斜率為1，
所以切線(xiàn)l的斜率為-1，其普通方程為x+y-2=0，
化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=2；
（2）OP⊥AB時(shí)，|AB|取得最小值，此時(shí)|OP|=$\frac{1}{2}$，|AB|的最小值=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與普通方程以及極坐標(biāo)方程的互化，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．