Question

5．在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，AB=AD=$\sqrt{2}$，AB⊥BC，如圖把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD

（1）求證：CD⊥平面ABD；
（2）若M為線段BC中點，求三棱錐M-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）過D作DE⊥BC，利用勾股定理求出BD，CD，根據(jù)勾股定理的逆定理證明BD⊥CD，利用面面垂直的性質得出CD⊥平面ABD；
（2）由于M為BC的中點，故三棱錐M-ACD的體積為三棱錐B-ACD的體積的一半．

解答 證明：（1）過D作DE⊥BC，
∵AB=AD，AD∥BC，AB⊥BC，
∴四邊形ABED是正方形，
∴DE=AB=$\sqrt{2}$，BE=AD=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{2}$AB=2．
∵BC=2AD=2$\sqrt{2}$，∴CE=$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}=2$．
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD．
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面ABD．
（2）V_B-ACD=V_C-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•CD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=$\frac{2}{3}$．
∵M是BC的中點，
∴V_M-ACD=$\frac{1}{2}{V}_{B-ACD}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了側面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．