Question

20．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表：

零件的個(gè)數(shù)x（個(gè)）	2	3	4	5
加工的時(shí)間y（小時(shí)）	2.5	3	4	4.5

（Ⅰ）在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了2個(gè)不同模型，模型①：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}x$+$\stackrel{∧}{a}$，模型②：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{c}$$\sqrt{x}$+$\stackrel{∧}6n5ju05$，求$\stackrel{∧}{a}$，$\stackrel{∧}$，$\stackrel{∧}{c}$，$\stackrel{∧}fl5hlqc$（精確到0.1）；
（Ⅱ）比較兩個(gè)不同的模型的相關(guān)指數(shù)R₁²，R₂²，指出哪種模型的擬合效果最好，并說明理由．
附：回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b\overline{x}}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本平均數(shù)，令z=$\sqrt{x}$，則$\sum_{i=1}^{4}$z_iy_i=26.8，$\overline{z}$=1.8，$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{5}$≈2.2，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\stackrel{∧}{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用表格中的數(shù)據(jù)先作出散點(diǎn)圖；根據(jù)利用公式計(jì)算出樣本中心點(diǎn)、$\sum_{i}^{4}{x}_{i}{y}_{i}$及$\sum_{i=1}^{4}$${x}_{i}^{2}$；x，即可求得系數(shù)a，b，可得回歸方程；
（Ⅱ）分別求得模型一及模型二的R²，從而判斷結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）散點(diǎn)圖如下圖：

由表中的數(shù)據(jù)得：
$\sum_{i}^{4}{x}_{i}{y}_{i}$=52.5，$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5}{4}$=3.5，$\overline{y}$=$\frac{2.5+3+4+4.5}{4}$=3.5，$\sum_{i=1}^{4}$${x}_{i}^{2}$；x=54，
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{52.5-4×3.5×3.5}{54-4×3．{5}^{2}}$≈0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b\overline{x}}$=3.5-0.7×3.5≈1.1，
∴$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+1.1，
模型二：$\stackrel{^}{c}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}{z}_{i}-n\overline{y}\overline{z}}{\sum_{i=1}^{n}{z}_{i}^{2}-n{\overline{z}}^{2}}$=$\frac{26.8-4×3.5×1.8}{14-4×1．{8}^{2}}$≈1.5，
（Ⅱ）模型1：
${R}_{1}^{2}$=1-$\frac{（2.5-2×0.7-1.1）^{2}+（3-3×0.7-1.1）^{2}+（4-4×0.7-1.1）^{2}+（4.5-5×0.7-1.1）^{2}}{（2.5-3.5）^{2}+（{3-3.5）}^{2}+（4-4.5）^{2}+（4.5-3.5）^{2}}$，
模型2：
${R}_{2}^{2}$=1-$\frac{（2.5-1.4×1.5-0.8）^{2}+．…+（4.5-2.2×1.5-0.8）^{2}}{（2.5-3.5）^{2}+…+（4.5-3.5）^{2}}$＜${R}_{1}^{2}$，
∴模型1的擬合效果較好．

點(diǎn)評 本題考查散點(diǎn)圖，考查線性回歸方程，運(yùn)算比較繁瑣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．