Question

4．一個(gè)盒子內(nèi)裝有8張卡片，每張卡片上面寫(xiě)著1個(gè)數(shù)字，這8個(gè)數(shù)字各不相同，且奇數(shù)有3個(gè)，偶數(shù)有5個(gè)，每張卡片被取出的概率相等．
（Ⅰ）如果從盒子中一次隨機(jī)取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個(gè)新數(shù)，求所得新數(shù)是偶數(shù)的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫(xiě)著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片，設(shè)取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用古典概型的概率公式求解即可；
（Ⅱ）由題意知抽取的次數(shù)ξ可能取值為1、2、3、4，計(jì)算概率的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）記事件A為“任取2張卡片，將卡片上的數(shù)字相加得到的新數(shù)是偶數(shù)”，
因?yàn)槠鏀?shù)加奇數(shù)可得偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)也得偶數(shù)，
所以P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{+C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{13}{28}$，
即所得新數(shù)是偶數(shù)的概率為$\frac{13}{28}$；
（Ⅱ）根據(jù)題意，ξ所有可能的取值為1，2，3，4；
計(jì)算P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}$=$\frac{5}{8}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}{•C}_{7}^{1}}$=$\frac{15}{56}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}{•C}_{7}^{1}{•C}_{6}^{1}}$=$\frac{5}{56}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{1}^{1}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}{•C}_{7}^{1}{•C}_{6}^{1}{•C}_{5}^{1}}$=$\frac{1}{56}$；
所以ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=1×$\frac{5}{8}$+2×$\frac{15}{56}$+3×$\frac{5}{56}$+4×$\frac{1}{56}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了排列組合、古典概型、隨機(jī)變量的分布列等基礎(chǔ)知識(shí)，也考查了運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力．