Question

17．已知函數f（x）=（ax-1）e^2x+x+1（其中e為自然對數的e底數）．
（Ⅰ）若a=0，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）對?x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=0時，f′（x）=-2e^2x+1，由此利用導數性質能求出函數f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅱ）f′（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，令g（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，則g′（x）=4（ax-1+a）e^2x，由此利用分類討論思想，結合導數應用能求出實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=0時，f（x）=-e^2x+x+1，f′（x）=-2e^2x+1，
由f′（x）=0，解得x=-$\frac{ln2}{2}$，
當x∈（-∞，-$\frac{ln2}{2}$）時，f′（x）＞0，當x∈（-$\frac{ln2}{2}$，+∞）時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-$\frac{ln2}{2}$），單調減區(qū)間為（-$\frac{ln2}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）f′（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，令g（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，
則g′（x）=4（ax-1+a）e^2x，
①若a≥1，當x∈（0，+∞），g′（x）＞0，從而g（x）在（0，+∞）上單調遞增且g（0）=a-1≥0，
∴x∈（0，+∞）時，g（x）＞0即f′（x）＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調遞增且f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0恒成立，符合題意．
②若a≤0，則x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）單調遞減，則g（x）＜g（0）=a-1，
即x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）在（0，+∞）單調遞減，此時f（x）＜f（0）=0，不符合題意．
③若0＜a＜1，由g′（x）=4（ax-1+a）e^2x=0，得x=$\frac{1}{a}-1$，且x∈（0，$\frac{1}{a}-1$），g′（x）＜0，
∴函數y=g（x）在（0，$\frac{1}{a}-1$）單調遞減．
∴x∈（0，$\frac{1}{a}-1$）時，g（x）＜g（0）=a-1＜0，即x$∈（0，\frac{1}{a}-1）$時，f′（x）＜0，
∴函數y=f（x）在（0，$\frac{1}{a}-1$）單調遞減，
∴x∈（0，$\frac{1}{a}-1$）時，f（x）＜f（0）=0，不符合題意．
綜上所述，實數a的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查函數的單調性、函數的最值、導數性質等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，函數與方程思想、分類與整合思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．