Question

12．如圖，已知AB為圓O的一條弦，點(diǎn)P為弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，過點(diǎn)P任作兩條弦PC，PD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)
求證：PE•PC=PF•PD．

Answer 1

分析 連結(jié)PA、PB、CD、BC，推導(dǎo)出∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，從而E、F、D、C四點(diǎn)共圓．由此能證明PE•PC=PF•PD．

解答 解：連結(jié)PA、PB、CD、BC，
因?yàn)椤螾AB=∠PCB，又點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)，
所以∠PAB=∠PBA，
所以∠PCB=∠PBA，
又∠DCB=∠DPB，
所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，
所E、F、D、C四點(diǎn)共圓．
所以PE•PC=PF•PD．

點(diǎn)評 本題考查兩組線段乘積相等的證明，考查弦切角、切割線定理、圓等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．