Question

2．在平面直角坐標系xoy中，直線l：x+y-2=0，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₁：ρ=1，將曲線C₁上所有點的橫坐標伸長為原來的$2\sqrt{2}$倍，縱坐標伸長為原來的2倍得到曲線C₂，又直線l與曲線C₂交于A，B兩點．
（1）求曲線C₂的直角坐標方程；
（2）設定點P（2，0），求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：ρ=1，即直角坐標方程：x²+y²=1．．將曲線C₁上所有點的橫坐標伸長為原來的$2\sqrt{2}$倍，縱坐標伸長為原來的2倍得到曲線C₂，可得與曲線C₂的方程為：$（\frac{x}{2\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1．
（2）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲線C₂的方程為：3t²+4$\sqrt{2}$t-8=0．可得$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）曲線C₁：ρ=1，即直角坐標方程：x²+y²=1．
將曲線C₁上所有點的橫坐標伸長為原來的$2\sqrt{2}$倍，縱坐標伸長為原來的2倍得到曲線C₂，
可得與曲線C₂的方程為：$（\frac{x}{2\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，化為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲線C₂的方程為：3t²+4$\sqrt{2}$t-8=0．
∴t₁+t₂=-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，t₁•t₂=-$\frac{8}{3}$．
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（-\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}-4×（-\frac{8}{3}）}}{\frac{8}{3}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應用、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．