4.已知f(x)=exlnx.
(1)求y=f(x)-f′(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)證明:f′(x)>1.

分析 (1)先求出f(x)的導數(shù),代入y=f(x)-f′(x)得出函數(shù)表達式,再去研究單調(diào)性與極值,
(2)f′(x)=exlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$,從而f′(x)>1等價于xlnx+1>$\frac{x}{{e}^{x}}$,構(gòu)造函數(shù),求最值,即可證明結(jié)論.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=ex(lnx+1)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=exlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$,則y=f(x)-f′(x)=-$\frac{{e}^{x}}{x}$,
∴y′=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{x}^{2}}$,由y′=0可得x=1.
當x>1時,y′<0;當x<1時,y′>0;
∴y=f(x)-f′(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞),
∴當x=1時,y取極大值-e,函數(shù)無極小值;
(2)證明:f′(x)=exlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$,從而f′(x)>1等價于xlnx+1>$\frac{x}{{e}^{x}}$,
設(shè)h(x)=xlnx+1,則h′(x)=1+lnx,
∴x∈(0,$\frac{1}{e}$),h′(x)<0,x∈($\frac{1}{e}$,+∞),h′(x)>0,
∴h(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上單調(diào)遞減,在($\frac{1}{e}$,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h(x)≥h($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$+1.
設(shè)F(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$,則F′(x)=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$
x∈(0,1),F(xiàn)′(x)>0,x∈(1,+∞),F(xiàn)′(x)<0
∴F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)F(x)的最大值為F(1)=$\frac{1}{e}$,
∴F(x)≤$\frac{1}{e}$,
∵-$\frac{1}{e}$+1-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{2}{e}$>0,
∴h(x)>F(x),
∴f′(x)>1.

點評 本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)研究方程問題,體現(xiàn)了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想.

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