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4.已知f(x)=exlnx.
(1)求y=f(x)-f′(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)證明:f′(x)>1.

分析 (1)先求出f(x)的導(dǎo)數(shù),代入y=f(x)-f′(x)得出函數(shù)表達(dá)式,再去研究單調(diào)性與極值,
(2)f′(x)=exlnx+exx,從而f′(x)>1等價于xlnx+1>xex,構(gòu)造函數(shù),求最值,即可證明結(jié)論.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=ex(lnx+1)的定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)=exlnx+exx,則y=f(x)-f′(x)=-exx
∴y′=exxexx2,由y′=0可得x=1.
當(dāng)x>1時,y′<0;當(dāng)x<1時,y′>0;
∴y=f(x)-f′(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞),
∴當(dāng)x=1時,y取極大值-e,函數(shù)無極小值;
(2)證明:f′(x)=exlnx+exx,從而f′(x)>1等價于xlnx+1>xex,
設(shè)h(x)=xlnx+1,則h′(x)=1+lnx,
∴x∈(0,1e),h′(x)<0,x∈(1e,+∞),h′(x)>0,
∴h(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減,在(1e,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h(x)≥h(1e)=-1e+1.
設(shè)F(x)=xex,則F′(x)=1xex
x∈(0,1),F(xiàn)′(x)>0,x∈(1,+∞),F(xiàn)′(x)<0
∴F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)F(x)的最大值為F(1)=1e
∴F(x)≤1e,
∵-1e+1-1e=1-2e>0,
∴h(x)>F(x),
∴f′(x)>1.

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)研究方程問題,體現(xiàn)了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.

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