Question

4．已知f（x）=e^xlnx．
（1）求y=f（x）-f′（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）證明：f′（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的導數(shù)，代入y=f（x）-f′（x）得出函數(shù)表達式，再去研究單調(diào)性與極值，
（2）f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$，從而f′（x）＞1等價于xlnx+1＞$\frac{x}{{e}^{x}}$，構(gòu)造函數(shù)，求最值，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x（lnx+1）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$，則y=f（x）-f′（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴y′=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{x}^{2}}$，由y′=0可得x=1．
當x＞1時，y′＜0；當x＜1時，y′＞0；
∴y=f（x）-f′（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），
∴當x=1時，y取極大值-e，函數(shù)無極小值；
（2）證明：f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$，從而f′（x）＞1等價于xlnx+1＞$\frac{x}{{e}^{x}}$，
設(shè)h（x）=xlnx+1，則h′（x）=1+lnx，
∴x∈（0，$\frac{1}{e}$），h′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$+1．
設(shè)F（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，則F′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$
x∈（0，1），F(xiàn)′（x）＞0，x∈（1，+∞），F(xiàn)′（x）＜0
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)F（x）的最大值為F（1）=$\frac{1}{e}$，
∴F（x）≤$\frac{1}{e}$，
∵-$\frac{1}{e}$+1-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{2}{e}$＞0，
∴h（x）＞F（x），
∴f′（x）＞1．

點評 本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)研究方程問題，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想．