Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)$M（\frac{3π}{4}，0）$對(duì)稱，且在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上是單調(diào)函數(shù)，則ω的值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{2}{3}$或2
• D． 無(wú)法確定

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式求得f（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，求得ω的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=cosωx．
根據(jù)它的圖象關(guān)于點(diǎn)$M（\frac{3π}{4}，0）$對(duì)稱，可得$ω•\frac{3π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=$\frac{4}{3}$k+$\frac{2}{3}$①；
又f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上是單調(diào)函數(shù)，∴ω•$\frac{π}{2}$≤π，即ω≤2 ②，
結(jié)合①②可得ω=$\frac{2}{3}$或ω=2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．