Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{3x+2}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）（理）設(shè)b_n=a_na_n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n＜$\frac{m-2016}{2}$對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求最小的正整數(shù)m的值．
（2）（文）設(shè)b_n=$\frac{1}{a_n}$×2ⁿ，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）求出a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+2}$，兩邊取倒數(shù)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；
（2）（理）求得b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{3n-1}$•$\frac{2}{3n+2}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及不等式恒成立思想，可得m的范圍，進(jìn)而得到最小值；
（2）（文）求得b_n=$\frac{1}{a_n}$•2ⁿ=$\frac{3n-1}{2}$•2ⁿ=（3n-1）•2^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）a_n+1=f（a_n）=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+2}$，
取倒數(shù)，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3n-1}{2}$，
即有a_n=$\frac{2}{3n-1}$；
（2）（理）b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{3n-1}$•$\frac{2}{3n+2}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）
=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{3n+2}$）＜$\frac{4}{3}$，
令$\frac{4}{3}$≤$\frac{m-2016}{2}$，解得m≥2018$\frac{2}{3}$，
可得m的最小值為2019；
（2）（文）b_n=$\frac{1}{a_n}$•2ⁿ=$\frac{3n-1}{2}$•2ⁿ=（3n-1）•2^n-1，
可得S_n=2×2⁰+5×2¹+…+（3n-1）×2^n-1，①
①×2得2S_n=2×2¹+5×2²+…+（3n-1）×2ⁿ，②
①-②得-S_n=2+3（2¹+2²+…+2^n-1）-（3n-1）×2ⁿ
=2+3•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-1）×2ⁿ，
化簡(jiǎn)可得S_n=（3n-4）×2ⁿ+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用兩邊取倒數(shù)，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和和錯(cuò)位相減法，考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．