Question

2．設f（x）=ax-|lnx|+1有三個不同的零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，e）
• B． （0，e²）
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）

Answer 1

分析 由f（x）=ax-|lnx|+1有三個不同的零點，可得ax+1=|lnx|有三個不同的零點，畫出圖形，數形結合得答案．

解答 解：如圖，由f（x）=ax-|lnx|+1有三個不同的零點，可得ax+1=|lnx|有三個不同的零點，
畫出函數y=|lnx|的圖象，
直線y=ax+1過定點（0，1），
當x＞1時，設過（0，1）的直線與y=lnx的切點為（x₀，lnx₀），
由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，
∴y′${|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
切線方程為$y-ln{x}_{0}=\frac{1}{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
把（0，1）代入得：1-lnx₀=-1，即x₀=e²．
∴y′${|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即直線y=ax+1的斜率為a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
則使f（x）=ax-|lnx|+1有三個不同的零點的a的取值范圍是（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．
故選：D．

點評 本題考查函數零點判定定理，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．