Question

16．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)G作BC的平行線與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$．

Answer 1

分析 如果連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)P，由三角形的重心的性質(zhì)可知AG=2GP，則AG：AP=2：3．又EF∥BC，根據(jù)相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC=2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，從而求出EF：BC=AF：AC=2：3，問(wèn)題得以解決．

解答 解：如圖，連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)P．
∵G為△ABC的重心，
∴AG=2GP，
∴AG：AP=2：3，
∵EF過(guò)點(diǎn)G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC=AG：AP=2：3．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=AF：AC=2：3．
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$
故答案為：$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角形三邊的中線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心．重心到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍，平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得三角形與原三角形相似，相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，以及向量的知識(shí)．