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11.設(shè)點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=lnx上,點(diǎn)Q在曲線(xiàn)y=1-1x(x>0)上,點(diǎn)R在直線(xiàn)y=x上,則|PR|+|RQ|的最小值為2

分析 求出兩曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線(xiàn)的斜率,由與直線(xiàn)y=x的平行,可得切點(diǎn),由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得最小值,進(jìn)而得到所求和的最小值.

解答 解:函數(shù)y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1x,
設(shè)曲線(xiàn)y=lnx與直線(xiàn)y=x的平行線(xiàn)相切的切點(diǎn)為(m,n),
可得1m=1,即m=1,可得切點(diǎn)為(1,0),
此時(shí)PR的最小值為|10|2=22
y=1-1x(x>0)的導(dǎo)數(shù)為y′=1x2,
設(shè)曲線(xiàn)y=1-1x(x>0)與直線(xiàn)y=x的平行線(xiàn)相切的切點(diǎn)為(s,t),
可得1s2=1,即s=1,可得切點(diǎn)為(1,0),
此時(shí)RQ的最小值為|10|2=22
則P,Q重合為(1,0),R為(1212),
|PR|+|RQ|取得最小值為2
故答案為:2

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線(xiàn)的斜率,考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的運(yùn)用,考查最值的求法,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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