Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是y=6，圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）分別求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）射線OM：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$）與圓C的交點為O、P兩點，與直線l的交于點M．射線ON：θ=α+$\frac{π}{2}$與圓C交于O，Q兩點，與直線l交于點N，求$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）直線l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得極坐標(biāo)方程．圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用cos²φ+sin²φ=1可得普通方程，進而化為極坐標(biāo)方程．
（II）由題意可得：點P，M的極坐標(biāo)方程為：（2sinα，α），$（\frac{6}{sinα}，α）$．可得$\frac{|OP|}{|OM|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{3}$．同理可得：$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{3}$，即可得出．

解答 解：（I）直線l的方程是y=6，可得極坐標(biāo)方程：ρsinθ=6．
圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），可得普通方程：x²+（y-1）²=1，
展開為x²+y²-2y=0．化為極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（II）由題意可得：點P，M的極坐標(biāo)方程為：（2sinα，α），$（\frac{6}{sinα}，α）$．
∴|OP|=2sinα，|OM|=$\frac{6}{sinα}$，可得$\frac{|OP|}{|OM|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{3}$．
同理可得：$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{3}$=$\frac{co{s}^{2}α}{3}$．
∴$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}2α}{36}$$≤\frac{1}{36}$．當(dāng)$α=\frac{π}{4}$時，取等號．

點評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．