Question

17．在等比數(shù)列 {a_n}中，已知 a₁=3，公比 q≠1，等差數(shù)列{b_n} 滿足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}與 {b_n}的通項公式；
（2）記 c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n+1）•3ⁿ，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{b_n} 的公差為d，∵b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
∴3+3d=3q，3+12d=3q²，解得q=3，d=2．
∴a_n=3ⁿ，b_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n+1）•3ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）•3ⁿ，
3S_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3×3+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=3+2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=-2n3ⁿ⁺¹，
∴S_n=n3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．