Question

12．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=2，若$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}，則\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}$=18．

Answer 1

分析 在直角三角形ABC中，求得cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，再由向量的加減運算，運用平面向量基本定理，結合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計算即可得到所求值．

解答 解：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=2，
cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
若$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}，則\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$²=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$²
=$\frac{3}{2}$×16-$\frac{5}{2}$×4×2×$\frac{1}{2}$+4=18．
故答案為：18．

點評 本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．