Question

17．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$，前n項和為S_n，若實數(shù)λ滿足（-1）ⁿλ＜3+（-1）ⁿ⁺¹S_n對任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． $-\frac{10}{3}$＜λ≤$\frac{9}{4}$
• B． $-\frac{10}{3}$＜λ＜$\frac{9}{4}$
• C． $-\frac{9}{4}$＜λ≤$\frac{10}{3}$
• D． $-\frac{9}{4}$＜λ＜$\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 求出a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），運用裂項相消求和，可得前n項和為S_n，判斷可得{S_n}為遞增數(shù)列，求得最值，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，由恒成立問題解法，求得λ的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
前n項和為S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
可得{S_n}為遞增數(shù)列，且有S₁取得最小值$\frac{1}{3}$；
且S_n＜$\frac{3}{4}$，
當n為偶數(shù)時，（-1）ⁿλ＜3+（-1）ⁿ⁺¹S_n對任意正整數(shù)n恒成立，
即為λ＜3-S_n對任意正整數(shù)n恒成立，
由3-S_n＞3-$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
可得λ≤$\frac{9}{4}$①
當n為奇數(shù)時，（-1）ⁿλ＜3+（-1）ⁿ⁺¹S_n對任意正整數(shù)n恒成立，
即為-λ＜3+S_n對任意正整數(shù)n恒成立，
由3+S_n≥3+S₁=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，
可得-λ＜$\frac{10}{3}$，即λ＞-$\frac{10}{3}$②
由①②解得$-\frac{10}{3}$＜λ≤$\frac{9}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．