Question

5．在△ABC中，若$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}$，$\frac{cosB}{cosC}$=$\frac{c}$，則△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形，但不是正三角形
• C． 直角三角形或等腰三角形
• D． 正三角形

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，可求范圍A∈（0，$\frac{π}{2}$），B∈（0，$\frac{π}{2}$），C∈（0，$\frac{π}{2}$），利用二倍角的正弦函數(shù)公式可得sin2A=sin2B=sin2C，結合范圍2A∈（0，π），2B∈（0，π），2C∈（0，π），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質即可解得A=B=C，從而得解三角形的形狀．

解答 解：∵$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}$，$\frac{cosB}{cosC}$=$\frac{c}$，
∴可得：acosA=bcosB=ccosC，
∴由正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，
∵A，B，C為三角形內角，可得：cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0，即A∈（0，$\frac{π}{2}$），B∈（0，$\frac{π}{2}$），C∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴可得：sin2A=sin2B=sin2C，2A∈（0，π），2B∈（0，π），2C∈（0，π），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2A=2B}\\{2A=π-2B（舍去）}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{2B=2C}\\{2B=π-2C（舍去）}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{2C=2A}\\{2C=π-2A（舍去）}\end{array}\right.$，可得：A=B=C．
故選：D．

點評 本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了分類討論思想和數(shù)形結合思想的綜合應用，屬于中檔題．