Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=|-2x+4|-|x+6|．
（1）求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）＞a+|x-2|存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論x的范圍求出不等式的解集即可；
（2）問(wèn)題等價(jià)于|x-2|-|x+6|＞a，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）≥0即|2x-4|-|x+6|≥0，
可化為①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-6}\\{-（2x-4）+（x+6）≥0}\end{array}\right.$
或②$\left\{\begin{array}{l}{-6≤x≤2}\\{-（2x-4）-（x+6）≥0}\end{array}\right.$，
或③$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{（2x-4）-（x+6）≥0}\end{array}\right.$，
解得x＜-6或-6≤x≤-$\frac{2}{3}$或x≥10，
綜上，不等式的解集是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[10，+∞）；
（2）f（x）＞a+|x-2|等價(jià)于2|x-2|-|x+6|＞a+|x-2|，
等價(jià)于|x-2|-|x+6|＞a，
而|x-2|-|x+6|≤|x-2-x-6|=8，
若f（x）＞a+|x-2|存在實(shí)數(shù)解，則a＜8，
即實(shí)數(shù)a的范圍是（-∞，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查絕對(duì)值的性質(zhì)，是一道中檔題．