Question

6．某廠家計(jì)劃在2016年舉行商品促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該商品的年銷(xiāo)售量m萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元滿足：m=3-$\frac{2}{x+1}$，已知2016年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家的產(chǎn)量等于銷(xiāo)售量，而銷(xiāo)售收入為生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本由固定投入和再投入兩部分資金組成）．
（1）將2016年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）該廠2016年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析 （1）由題目中，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5×$\frac{8+16m}{m}$（萬(wàn)元），則利潤(rùn)y=m[1.5×$\frac{8+16m}{m}$]-（8+16m+x），整理即可．
（2）對(duì)（1）利潤(rùn)函數(shù)y=-[$\frac{16}{x+1}$+（x+1）]+29（x≥0），利用基本不等式求最大值即可．

解答 解：（1）由題意知，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5×$\frac{8+16m}{m}$（萬(wàn)元），
∴利潤(rùn)函數(shù)y=m[1.5×$\frac{8+16m}{m}$]-（8+16m+x）
=4+8m-x=-[$\frac{16}{x+1}$+（x+1）]+29（x≥0）．
（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)y=-[$\frac{16}{x+1}$+（x+1）]+29（x≥0），
所以，當(dāng)x≥0時(shí)，$\frac{16}{x+1}$+（x+1）≥8，
∴y≤-8+29=21，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16}{x+1}$=x+1，即x=3（萬(wàn)元）時(shí)，y_max=21（萬(wàn)元）．
所以，該廠家2016年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大為21萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了商品利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的靈活運(yùn)用，是中檔題．目．