Question

6．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=135°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=1，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PD上．
（1）求證：平面PAC⊥平面EFM；
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥AC．EF⊥AC，PA⊥EF．推出EF⊥平面PAC．然后證明平面PAC⊥平面EFM．
（2）設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，利用${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|×|{AC}|=\frac{1}{2}$，由等體積法，轉(zhuǎn)化求解點(diǎn)到平面的距離．

解答 （1）證明：在平行四邊形ABCD中，因?yàn)锳B=BC，∠BAD=135°，所以AB⊥AC．
又因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以可得得EF∥AB，所以EF⊥AC
又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，EF在底面ABCD內(nèi)，所以PA⊥EF．
又因?yàn)镻A∩AC=A，PA⊆平面PAC，AC⊆平面PAC，所以EF⊥平面PAC．
又因?yàn)镋F⊆平面EFM，所以平面PAC⊥平面EFM．
（2）設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，
由（1）可知三角形ABC為等腰直角三角形，可求${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|×|{AC}|=\frac{1}{2}$，
又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，可求三角形PBC是邊長為$\sqrt{2}$的正三角形，
可求${S_{△PBC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{|{BC}|^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以由${V_{P-ABC}}={V_{A-PBC}}，可得\frac{1}{3}×|{PA}|×{S_{△ABC}}=\frac{1}{3}×d×{S_{△PBC}}$，
所以，$d=\frac{{|{PA}|×{S_{△ABC}}}}{{{S_{△PBC}}}}=\frac{{1×\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，點(diǎn)到平面的距離距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．