Question

1．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+4\overrightarrow{PA}=\overrightarrow 0$，現(xiàn)在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在△PBC內(nèi)的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合共線向量充要條件，得點(diǎn)P到BC的距離等于A到BC的距離的$\frac{1}{3}$．再根據(jù)幾何概型公式，將△PBC的面積與△ABC的面積相除可得本題的答案．

解答 解：以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$，
∵$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+4$\overrightarrow{PA}$=0，
∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=-4$\overrightarrow{PA}$，
得：$\overrightarrow{PD}$=-4$\overrightarrow{PA}$，
由此可得，點(diǎn)P到BC的距離等于A到BC的距離的$\frac{1}{3}$．
∴S_△PBC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，黃豆落在△PBC內(nèi)的概率為P=$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出點(diǎn)P滿足的條件，求P點(diǎn)落在△PBC內(nèi)的概率，著重考查了平面向量加法法則、向量共線的充要條件和幾何概型等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．