Question

11．已知：（log_ax）′=$\frac{1}{xlna}$，f′（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)，若方程f′（x）=0無解，且對?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₆x]=2017，設關于x的方程f（x）+f′（x）=t有解，則t的取值范圍是（　�。�

• A． [2016+$\frac{1}{ln2016}$，+∞）
• B． （2016+$\frac{1}{ln2016}$，+∞）
• C． [2016-$\frac{1}{ln2016}$，+∞）
• D． （2016-$\frac{1}{ln2016}$，+∞）

Answer 1

分析 方程f′（x）=0無解，可得f（x）是單調函數(shù)，由題意得對?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₆x]=2017，
f（x）-log₂₀₁₆x是定值，設f（x）=m+log₂₀₁₆x，可得f（x）為增函數(shù)，而m=2016時，f（2016）=2016+log₂₀₁₆2016=2017，因此m=2016．再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：∵方程f′（x）=0無解，
∴f′（x）＞0或f′（x）＜0，
∴f（x）是單調函數(shù)，
由題意得對?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₆x]=2017，
又f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數(shù)，
∴f（x）-log₂₀₁₆x是定值，
設m=f（x）-log₂₀₁₆x，
則f（x）=m+log₂₀₁₆x，∴f（x）為增函數(shù)，
而m=2016時，f（2016）=2016+log₂₀₁₆2016=2017，
∴m=2016．
∴f（x）=2016+log₂₀₁₆x，
∵f（x）+f′（x）=t有解，
即2016+log₂₀₁₆x+$\frac{1}{xln2016}$=t有解．
t′=$\frac{1}{xln2016}-\frac{1}{{x}^{2}ln2016}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}ln2016}$，
可知：x=1時，函數(shù)t（x）取得極小值即最小值，t（1）=2016+$\frac{1}{ln2016}$．
∴t≥2016+$\frac{1}{ln2016}$．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、函數(shù)與方程的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．