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1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若$\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$sinC,a=2$\sqrt{3}$且b∈[1,3],則c的最小值為3.

分析 由已知及正弦定理,結合余弦定理,可得3cosC=$\sqrt{3}$sinC,從而可求tanC,利用同角三角函數基本關系式可求cosC,從而可求c2=b2-2$\sqrt{3}$b-12=(b-$\sqrt{3}$)2+9,結合范圍b∈[1,3],利用二次函數的圖象和性質即可解得c的最小值.

解答 解:在△ABC中,∵$\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$sinC,
∴由正弦定理可得:$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC,整理可得:a2+b2-c2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$absinC,
又∵由余弦定理可得:a2+b2-c2=2abcosC,
∴2abcosC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$absinC,整理可得:3cosC=$\sqrt{3}$sinC,
∴解得:tanC=$\sqrt{3}$,C=$\frac{π}{3}$,∴cosC=$\frac{1}{2}$,
∴c2=b2-2$\sqrt{3}$b-12=(b-$\sqrt{3}$)2+9,
∵b∈[1,3],
∴當b=$\sqrt{3}$時,c取最小值為3.
故答案為:3.

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函數基本關系式,二次函數的圖象和性質在解三角形中的應用,考查了轉化思想和數形結合思想的應用,屬于中檔題.

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