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1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若asinA+bsinBcsinCasinB=233sinC,a=23且b∈[1,3],則c的最小值為3.

分析 由已知及正弦定理,結合余弦定理,可得3cosC=3sinC,從而可求tanC,利用同角三角函數基本關系式可求cosC,從而可求c2=b2-23b-12=(b-32+9,結合范圍b∈[1,3],利用二次函數的圖象和性質即可解得c的最小值.

解答 解:在△ABC中,∵asinA+bsinBcsinCasinB=233sinC,
∴由正弦定理可得:a2+b2c2ab=233sinC,整理可得:a2+b2-c2=233absinC,
又∵由余弦定理可得:a2+b2-c2=2abcosC,
∴2abcosC=233absinC,整理可得:3cosC=3sinC,
∴解得:tanC=3,C=\frac{π}{3},∴cosC=\frac{1}{2}
∴c2=b2-2\sqrt{3}b-12=(b-\sqrt{3}2+9,
∵b∈[1,3],
∴當b=\sqrt{3}時,c取最小值為3.
故答案為:3.

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函數基本關系式,二次函數的圖象和性質在解三角形中的應用,考查了轉化思想和數形結合思想的應用,屬于中檔題.

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