Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若$\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$sinC，a=2$\sqrt{3}$且b∈[1，3]，則c的最小值為3．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理，結合余弦定理，可得3cosC=$\sqrt{3}$sinC，從而可求tanC，利用同角三角函數基本關系式可求cosC，從而可求c²=b²-2$\sqrt{3}$b-12=（b-$\sqrt{3}$）²+9，結合范圍b∈[1，3]，利用二次函數的圖象和性質即可解得c的最小值．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$sinC，
∴由正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，整理可得：a²+b²-c²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$absinC，
又∵由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，
∴2abcosC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$absinC，整理可得：3cosC=$\sqrt{3}$sinC，
∴解得：tanC=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴c²=b²-2$\sqrt{3}$b-12=（b-$\sqrt{3}$）²+9，
∵b∈[1，3]，
∴當b=$\sqrt{3}$時，c取最小值為3．
故答案為：3．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數基本關系式，二次函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于中檔題．