Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-a．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線在x軸上的截距為1，求a的值
（2）求函數(shù)f（x）的極值．
（3）若方程f（x）=0有且僅有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（0），f′（0），求出切線方程，從而求出a的值即可；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求出函數(shù)的極大值與極小值，根據(jù)方程f（x）=0有且僅有三個(gè)實(shí)根，建立不等式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-a，
∴f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴f（0）=-a，f′（0）=6，
故切線的方程是y+a=6x，令y=0，解得：x=$\frac{a}{6}$=1，解得：a=6；
（2）由（1）得：f′（x）=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0，可得1＜x＜2，
∞（-∞，1）和（2，+∞）是增區(qū)間；（1，2）是減區(qū)間，
∴f（x）_極大值=f（1）=$\frac{5}{2}$-a，f（x）_極小值=f（2）=2-a；
（3）由（2）知 當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極大值f（1）=$\frac{5}{2}$-a；
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取極小值f（2）=2-a；
∵方程f（x）=0僅有三個(gè)實(shí)根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，求出函數(shù)的極值是關(guān)鍵．