Question

12．對于正整數(shù)集合A={a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥3），如果去掉其中任意一個元素a_i（i=1，2，…，n）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“和諧集”．
（Ⅰ）判斷集合{1，2，3，4，5}是否是“和諧集”（不必寫過程）；
（Ⅱ）求證：若集合A是“和諧集”，則集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)；
（Ⅲ）若集合A是“和諧集”，求集合A中元素個數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)定義，判斷集合{1，2，3，4，5}不是“和諧集”；
（Ⅱ）判定a_i（i=1，2，…，n）的奇偶性相同，分類討論，證明：若集合A是“和諧集”，則集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)；
（Ⅲ）利用反證法思想進行證明．

解答 解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“和諧集”．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)集合A={a₁，a₂，…，a_n}所有元素之和為M．
由題可知，M-a_i（i=1，2，…，n）均為偶數(shù)，
因此a_i（i=1，2，…，n）的奇偶性相同．
（ⅰ）如果M為奇數(shù)，則a_i（i=1，2，…，n）也均為奇數(shù)，
由于M=a₁+a₂+…+a_n，所以n為奇數(shù)．
（ⅱ）如果M為偶數(shù)，則a_i（i=1，2，…，n）均為偶數(shù)，
此時設(shè)a_i=2b_i，則{b₁，b₂，…，b_n}也是“和諧集”．
重復上述操作有限次，便可得各項均為奇數(shù)的“和諧集”．
此時各項之和也為奇數(shù)，集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)．
綜上所述，集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)，
當n=3時，顯然任意集合{a₁，a₂，a₃}不是“和諧集”．
當n=5時，不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，將集合{a₁，a₃，a₄，a₅}分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，
則有a₁+a₅=a₃+a₄①，或者a₅=a₁+a₃+a₄②；將集合{a₂，a₃，a₄，a₅}分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，
則有a₂+a₅=a₃+a₄③，或者a₅=a₂+a₃+a₄④．
由①、③，得a₁=a₂，矛盾；由①、④，得a₁=-a₂，矛盾；
由②、③，得a₁=-a₂，矛盾；由②、④，得a₁=a₂，矛盾．
因此當n=5時，集合A一定不是“和諧集”．
當n=7時，設(shè)A={1，3，5，7，9，11，13}，
因為3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，
所以集合A={1，3，5，7，9，11，13}是“和諧集”．
集合A中元素個數(shù)n的最小值是7．…（13分）

點評 本題考查新定義，考查分類討論的數(shù)學思想，考查反證法，難度大．