Question

10．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列說法中：
①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若該三角形有兩解，則x取值范圍是2＜x＜2$\sqrt{2}$；
②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，則△ABC的外接圓半徑等于$\frac{7\sqrt{3}}{3}$；
③在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，則BC邊的中線AD=$\frac{7}{2}$；
④設(shè)三角形ABC的BC邊上的高AD=BC，a、b、c分別表示角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊，則$\frac{c}$+$\frac{c}$的取值范圍是[2，$\sqrt{5}$]
其中正確說法的序號(hào)是①②③④（注：把你認(rèn)為是正確的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 對(duì)4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①因?yàn)锳C=b=2，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)A=90°時(shí)圓與AB相切；當(dāng)A=45°時(shí)交于B點(diǎn)，也就是只有一解，
∴45°＜A＜90°，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，
∵b=2，B=45°，
∴由正弦定理a=x=$\frac{bsinA}{sinB}$=2$\sqrt{2}$sinA，
又$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，
∴2$\sqrt{2}$sinA∈（2，2$\sqrt{2}$），
則x取值范圍是2＜x＜2$\sqrt{2}$，本選項(xiàng)正確；
②∵b=8，c=5，A=60°，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=64+25-40=49，
解得：a=7，
設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為R，
根據(jù)正弦定理得：2R=$\frac{7}{sin60°}$，解得：R=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，本選項(xiàng)正確；
③∵AB=c=4，AC=b=7，BC=a=9，
∴由余弦定理得：cosB=$\frac{2}{3}$，
又D為BC的中點(diǎn)，∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$，
在三角形ABD中，AB=4，BD=$\frac{9}{2}$，cosB=$\frac{2}{3}$，
由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=$\frac{49}{4}$，
解得：AD=$\frac{7}{2}$，本選項(xiàng)正確；
④∵BC邊上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}=\frac{1}{2}bcsinA$，
∴sinA=$\frac{{a}^{2}}{bc}$，又cosA=$\frac{1}{2}$（$\frac{c}$+$\frac{c}$-$\frac{{a}^{2}}{bc}$），
∴$\frac{c}$+$\frac{c}$=2cosA+sinA
=$\sqrt{5}$sin（α+A）≤$\sqrt{5}$，
（其中sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
又$\frac{c}$+$\frac{c}$≥2，
∴$\frac{c}$+$\frac{c}$∈[2，$\sqrt{5}$]，本選項(xiàng)正確，
則正確說法的序號(hào)是①②③④．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦、余弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角形的面積公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，直角三角形內(nèi)切圓半徑求法，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．