Question

13．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD=AB=2AD=2，PC=2$\sqrt{2}$，M，N分別是CD，PB的中點(diǎn)，
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）若E為AD的中點(diǎn)，求三棱錐D-EMN的體積．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點(diǎn)F，連接FN，DF，由三角形中位線(xiàn)定理可得FN=$\frac{1}{2}AB$，F(xiàn)N∥AB，又已知DM=$\frac{1}{2}AB$，BM∥AB，得到FN∥DM，F(xiàn)N=DM，則四邊形MNFD是平行四邊形，則MN∥FD，由線(xiàn)面平行的判定可得MN∥平面PAD；
（2）由PD=DC=2，PC=2$\sqrt{2}$，可得PD²+DC²=PC²，則PD⊥DC，又PD⊥BC，則PD⊥平面ABCD，已知N為PB的中點(diǎn)，求出N到面DEM的距離是PD的一半，求出S_△DEM，即可求出三棱錐D-EMN的體積．

解答 （1）證明：取PA的中點(diǎn)F，連接FN，DF，∵F，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，
∴FN=$\frac{1}{2}AB$，F(xiàn)N∥AB，
又∵DM=$\frac{1}{2}AB$，BM∥AB，
∴FN∥DM，F(xiàn)N=DM，
則四邊形MNFD是平行四邊形，則MN∥FD，
又∵FD?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）解：∵PD=DC=2，PC=2$\sqrt{2}$，
∴PD²+DC²=PC²，則PD⊥DC．
又∵PD⊥BC，∴PD⊥平面ABCD．
∵N為PB的中點(diǎn)，∴N到面DEM的距離是PD的一半，即為1．
又∵${S}_{△DEM}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$，
∴${V}_{D-EMN}={V}_{N-DEM}=\frac{1}{3}{S}_{△DEM}×1=\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．