Question

已知函數(shù)y=f（x），對任意的x∈（-

π

2

，

π

2

）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（　�。�

• A、

  3

  f(-

  π

  3

  )＜f(-

  π

  6

  )
• B、f(-

  π

  6

  )＞

  3

  2

  f(0)
• C、f(

  π

  4

  )＞

  2

  f(

  π

  3

  )
• D、f(0)＞

  2

  f(

  π

  4

  )

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

cosx

，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

cosx

，
則g′（x）=

f′(x)cosx-f(x)(cosx)′

cos2x

=

1

cos2x

（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵對任意的x∈（-

π

2

，

π

2

）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）單調(diào)遞增，
則g（-

π

3

）＜g（-

π

6

），即

f(- π 3 )

cos(- π 3 )

＜

f(- π 6 )

cos(- π 6 )

，∴

3

f（-

π

3

）＜f（-

π

6

），
故A正確，故選：A．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，有一點的難度．