Question

已知圓C₁：x²+（y-1）²=1，拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F為圓C₁的圓心
（1）已知直線(xiàn)l的傾斜角為

π

4

，且與圓C₁相切，求直線(xiàn)l的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)m與曲線(xiàn)C₁，C₂交于四個(gè)點(diǎn)，依次為A，B，C，D求|AC|•|BD|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出圓心和半徑，設(shè)出直線(xiàn)y=x+b，運(yùn)用直線(xiàn)和圓相切的條件：d=r，解方程，即可得到；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），運(yùn)用拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合圓的定義，可得|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2），設(shè)直線(xiàn)AD：x=m（y-1），代入拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，即可得到m的關(guān)系式，即可得到范圍．

解答： 解：（1）圓C₁：x²+（y-1）²=1，圓心為（0，1），半徑為1，
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F為（0，1），則拋物線(xiàn)方程為：x²=4y，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x=-1．
設(shè)直線(xiàn)y=x+b，則與圓C₁相切，有d=r=1，即有

|0+b-1|

2

=1，
解得，b=1±

2

，
則直線(xiàn)l的方程為y=x+1+

2

或y=x+1-

2

；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
拋物線(xiàn)x²=4y的焦點(diǎn)為（0，1），準(zhǔn)線(xiàn)為y=-1．
|AF|=y₁+1，|DF|=y₂+1，
則|AB|=|AF|-1=y₁，|CD|=|DF|-1=y₂，
則有|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2）
=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
設(shè)直線(xiàn)AD：x=m（y-1），代入拋物線(xiàn)方程，
得，m²y²-（2m²+4）y+m²=0，
即有y₁+y₂=2+

4

m2

，y₁y₂=1，
則|AC|•|BD|=1+4+

8

m2

+4=9+

8

m2

＞9．
當(dāng)直線(xiàn)AD平行于x軸，即y=1，
解得A（-2，1），B（-1，1），C（1，1），D（2，1），
則|AC|•|BD|=9．
綜上，則有|AC|•|BD|的取值范圍為[9，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓相切的條件，考查拋物線(xiàn)的定義和方程及性質(zhì)，考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理解題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．