Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，點(diǎn)M在線段EC上且不與E，C重合．
（1）當(dāng)點(diǎn)M是EC中點(diǎn)時(shí)，求證：BM∥平面ADEF；
（2）當(dāng)EM=2MC時(shí)，求平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，利用EM=2MC，求出平面BDM的法向量、平面ABF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值．

解答： 證明：（1）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；
解：（Ⅱ）以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=AD=

1

2

CD=2，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），

則∵EM=2MC，
∴

CM

=

1

3

CE

=（0，-

4

3

，

2

3

），
又∵

DB

=（2，2，0），

DM

=

DC

+

CM

=（0，

8

3

，

2

3

），
設(shè)平面BDM的法向量

n1

=（x，y，z），
則

n1 • DB =0 n1 • DM =0

，
即

2x+2y=0 8 3 y+ 2 3 z=0

，
∴令y=-1，取

n1

=（1，-1，4），
∵平面ABF的法向量

n2

=（1，0，0），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1• 18

=

2

6

，
∴平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為

2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，熟練掌握利用向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．