Question

7．已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=4^x+x-$\frac{1}{x}$．
（1）求f（-1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+a在區(qū)間（1，2）上有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義f（-1）=-f（1）即可得出；
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x）即可得出．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性以及零點判定定理求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=4^x+x-$\frac{1}{x}$，
∴f（-1）=-f（1）=-（4+1-1）=-4．
（2）當(dāng)x＜0，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（4^-x-x+$\frac{1}{x}$）=-4^-x+x-$\frac{1}{x}$，
f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{4}^{-x}+x-\frac{1}{x}，x＜0}\\{0，x=0}\\{{4}^{x}+x-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$．
（3）當(dāng)x＞0時，f（x）=4^x+x-$\frac{1}{x}$是增函數(shù)，
則函數(shù)g（x）=f（x）+a在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，
函數(shù)g（x）=f（x）+a在區(qū)間（1，2）上有零點，
可得：f（1）＜0并且f（2）＞0，
即4+a＜0且17.5+a＞0，
所以-17.5＜a＜-4．

點評 本題考查函數(shù)的零點判定定理的應(yīng)用，函數(shù)的解析式的求法，考查計算能力．