Question

17．使f （x）=$\frac{2x}{|x|+1}$的定義域與值域均為[a，b]的有序?qū)崝?shù)對（a，b）有3個．

Answer 1

分析 利用題意首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，然后討論函數(shù)f（x）與函數(shù)y=x交點的個數(shù)，最近確定滿足題意的有序?qū)崝?shù)對的個數(shù)即可．

解答 解：由函數(shù)的解析式可得函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
當x＞0時：$f（x）=\frac{2x}{x+1}=\frac{2}{1+\frac{1}{x}}$，據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
解方程：$f（x）=\frac{2x}{|x|+1}=x$ 可得：x₁=0，x₂=1，x₃=-1，
即函數(shù)f（x）與函數(shù)y=x有三個交點，
則滿足題意的有序?qū)崝?shù)對（a，b）有${C}_{3}^{2}=3$ 個．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，轉(zhuǎn)化的思想等，重點考查學生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中等題．