Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x-1）²，其中a＞0．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：$\frac{1}{2}-ln2＜f（{x_2}）＜0$．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，求出f（1），然后得到取得坐標，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a的討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后求解函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）利用函數(shù)的極值點以及函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化證明即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（1）=0，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-1），f′（1）=1，
曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程：y=x-1….2′
（2）∵f（x）=lnx+ax²-2ax+a∴${f^'}（x）=\frac{1}{x}+2ax-2a=\frac{{2a{x^2}-2ax+1}}{x}（{x＞0}）$
①當△=4a²-8a≤0即0＜a≤2時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0．+∞）．
②當△=4a²-8a＞0時，即a＞2時，令f′（x）=0得${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-2a}}}{2a}，{x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}-2a}}}{2a}$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（x₂，+∞）和（0，x₁），單調(diào)遞減區(qū)間是（x₁，x₂）．…6′
（3）證明：∵f（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增，且x₂＜1，
∴f（x₂）＜f（1）=0，不等式右側(cè)證畢….8′
∵f（x）有兩個極值點x₁，x₂，∴a＞2．
∴$\frac{1}{2}＜{x_2}＜1$，$f（{x_2}）=ln{x_2}+a{（{{x_2}-1}）^2}＞ln{x_2}+2{（{{x_2}-1}）^2}$
令$g（x）=lnx+2{（{x-1}）^2}（{\frac{1}{2}＜x＜1}）$，$g′（x）=\frac{1}{x}+4（x-1）$=$\frac{4{x}^{2}-4x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）^{2}}{x}$＞0，
∴g（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$單調(diào)遞增．
∴$g（x）＞g（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-ln2$∴$f（{x_2}）＞\frac{1}{2}-ln2$．不等式左側(cè)證畢．
綜上可知：$\frac{1}{2}-ln2＜f（{x_2}）＜0$．…..12′

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，函數(shù)的極值的求法，考查分析問題解決問題的能力．