【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）設(shè).若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）極小值0，無(wú)極大值；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ），令，得到的單調(diào)性即可得到極值；

（Ⅱ）在上恒成立，可構(gòu)造函數(shù)，，令，，分，，討論即可.

當(dāng)時(shí)，

則，

令

解得(舍去)，.

當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值.

若在上恒成立，

即在上恒成立.

構(gòu)造函數(shù)，

則

令.

若可知恒成立.

在上單調(diào)遞增.

.

當(dāng)即時(shí)，

在上恒成立，即在上恒成立.

在上恒成立，滿(mǎn)足條件.

當(dāng)即時(shí)，

，

存在唯一的使得.

當(dāng)時(shí)，即

在單調(diào)遞減.

，這與矛盾.

若由

可得(舍去)，

易知在上單調(diào)遞減.

在上恒成立，

即在上恒成立.

在上單調(diào)遞減.

在上恒成立，這與矛盾.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)上的投影為，若是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且.

（1）證明：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)；

（2）求面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，過(guò)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)是圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓．已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)，射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)．

（1）求曲線(xiàn)，的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)A，B為曲線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)且，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、．設(shè)直線(xiàn)傾斜角的余弦值為，圓與以線(xiàn)段為直徑的圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）若圓的面積為，求圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng)，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司年至年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線(xiàn)性相關(guān)）.

年份

年份代號(hào)

年利潤(rùn)（單位：億元）

（Ⅰ）求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司年（年份代號(hào)記為）的年利潤(rùn)；

（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由（Ⅰ）中線(xiàn)性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，稱(chēng)該年為級(jí)利潤(rùn)年，否則稱(chēng)為級(jí)利潤(rùn)年.將（Ⅰ）中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.

參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】鳳梨穗龍眼原產(chǎn)廈門(mén)，是廈門(mén)市的名果，栽培歷史已有100多年.龍眼干的級(jí)別按直徑的大小分為四個(gè)等級(jí)（如下表）.

級(jí)別

三級(jí)品

二級(jí)品

一級(jí)品

特級(jí)品

某商家為了解某農(nóng)場(chǎng)一批龍眼干的質(zhì)量情況，隨機(jī)抽取了100個(gè)龍眼干作為樣本（直徑分布在區(qū)間），統(tǒng)計(jì)得到這些龍眼干的直徑的頻數(shù)分布表如下：

頻數(shù)

1

29

7

用分層抽樣的方法從樣本的一級(jí)品和特級(jí)品中抽取6個(gè)，其中一級(jí)品有2個(gè).

（1）求、的值，并估計(jì)這批龍眼干中特級(jí)品的比例；

（2）已知樣本中的100個(gè)龍眼干約500克，該農(nóng)場(chǎng)有500千克龍眼干待出售，商家提出兩種收購(gòu)方案：

方案：以60元/千克收購(gòu)；

方案：以級(jí)別分裝收購(gòu)，每袋100個(gè)，特級(jí)品40元/袋、一級(jí)品30元/袋、二級(jí)品20元/袋、三級(jí)品10元/袋.

用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，哪個(gè)方案農(nóng)場(chǎng)的收益更高？并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100 人的體重?cái)?shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.

（1）估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值和樣本方差；(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足 (如圖(1))，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，(如圖(2)).

(1)求證：平面；

(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使直線(xiàn)與平面所成的角為?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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