Question

【題目】如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，若是拋物線上一點(diǎn)，且.

（1）證明：直線經(jīng)過的中點(diǎn)；

（2）求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）面積最小值為16，此時(shí)直線方程為.

【解析】

（1）由題意得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)，直線：，可得的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可得的斜率和直線的斜率，進(jìn)而可得直線的方程，與拋物線聯(lián)立可得兩根之和，可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)與的相同，即可證出直線經(jīng)過的中點(diǎn)；

（2）根據(jù)弦長公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出點(diǎn)到直線的距離為，運(yùn)用，結(jié)合均值不等式求出，即可求出直線的方程.

解：（1）由題意得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，

設(shè)，直線：，

則，

聯(lián)立和，

可得，

顯然，可得，

因?yàn)?/span>，，

所以，

故直線：，

由，

得.

∴，，

所以的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即，

所以直線經(jīng)過的中點(diǎn).

（2）所以

，

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，

則.

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，

時(shí)，直線的方程為：，

時(shí)，直線的方程為：.

另解：

.