Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，且滿足.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，且定點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)可求得，再由離心率可得c，于是可求得b，進(jìn)而得到橢圓的方程．（2）結(jié)合直線和橢圓的位置關(guān)系求解．將直線方程和橢圓方程聯(lián)立消元后得到二次方程，由判別式大于零可得，結(jié)合可得，從而得到關(guān)于的不等式組，解不等式組可得所求范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴，

又，

∴，

∴，

∴橢圓的方程為.

（2）由消去y整理得： ，

∵直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，

∴，

整理得．

設(shè)， ，

則，

又設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴， ．

∵，

∴，即，

∴，

∴，解得．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍．