Question

10．$\overrightarrow a$=（x-1，y），$\overrightarrow b$=（1，2），且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，則當x＞0，y＞0時，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用向量垂直的條件，得出x+2y=1，利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（x-1，y），$\overrightarrow b$=（1，2），且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=x-1+2y=0，
∴x+2y=1，
∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+2y）=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$，當且僅當$\frac{2y}{x}$=$\frac{x}{y}$時取等號，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$，
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查向量垂直的條件，考查基本不等式的運用，正確運用“1”的代換是關(guān)鍵．