Question

3．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$=$\frac{sinB}$．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{6}$，且△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，求BC邊上的中線AM的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式可求tanA，結合范圍A∈（0，π），可得A的值．
（Ⅱ）由題意設AC=BC=2a，利用三角形面積公式可求a的值，在△ACM中，由余弦定理即可求得AM的值．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，又由已知$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{sinB}$，
所以$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{a}{sinA}$，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因為A∈（0，π），所以A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由已知B=$\frac{π}{6}$，則△ABC是等腰三角形，∠C=$\frac{2π}{3}$，設AC=BC=2a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC•sin∠ACB$=$\frac{1}{2}•（2a）^{2}sin\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$a²，
由已知△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，得a²=4，a=2，
△ACM中，由余弦定理，AM²=CA²+CM²-2CA•CM•cos$\frac{2π}{3}$
=4²+2²-2×2×4×（-$\frac{1}{2}$）=28，
所以AM=2$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．