Question

10．已知函數(shù)f（x）=2|x+1|+ax．
（1）證明：當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對(duì)值，寫出分段函數(shù)的形式，針對(duì)x的取值范圍，x=-1時(shí)，y₁=（a+2）x+2，y₂=（a-2）x+2相等，即只需每段為增即可．
（2）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)f（x）在R上不單調(diào)，且點(diǎn)（-1，-a）在x軸下方即可．

解答 （1）證明：化簡(jiǎn)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a+2）x+2，x≥-1\\（a-2）x-2，x＜-1\end{array}\right.$，
因?yàn)閍＞2，所以y₁=（a+2）x+2，（x≥-1）是增函數(shù)，
另外y₂=（a-2）x+2，（x＜-1）也是增函數(shù)x=-1時(shí)y₁=y₂
所以當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）解：若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)f（x）在R上不單調(diào)，且點(diǎn)（-1，-a）在x軸下方，
所以有a的取值應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}（a+2）（a-2）＜0\\-a＜0\end{array}\right.$．解得a∈（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)，去掉絕對(duì)值，分段處理，是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．