Question

20．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等邊三角形，BC=CC₁，D是A₁C₁中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅱ）當三棱錐C-B₁C₁D體積最大時，求點B到平面B₁CD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BC₁，交B₁C于O，連DO．推導(dǎo)出DO∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面B₁CD．
（Ⅱ）先求出點C到平面A₁B₁C₁的距離CC₁=4，B到平面B₁CD的距離與C₁到平面B₁CD的距離相等．由${V}_{C-{B}_{1}{C}_{1}D}={V}_{{C}_{1}-{B}_{1}CD}$，能求出點B到平面B₁CD的距離．

解答 （本小題滿分12分）．
證明：（Ⅰ）連結(jié)BC₁，交B₁C于O，連DO．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形BB₁C₁C為平行四邊形，
則BO=OC₁，
又D是A₁C₁的中點，∴DO∥A₁B，而DO?平面B₁CD，
A₁B?平面B₁CD，
∴A₁B∥平面B₁CD．…（4分）
解：（Ⅱ）設(shè)點C到平面A₁B₁C₁的距離是h，則${V}_{C-{B}_{1}{C}_{1}D}h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}h$，
而h≤CC₁=4，故當三棱錐C-B₁C₁D體積最大時，h=CC₁=4，
即CC₁⊥平面A₁B₁C₁．…（6分）
由（Ⅰ）知：BO=OC₁，∴B到平面B₁CD的距離與C₁到平面B₁CD的距離相等．
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁D?平面A₁B₁C₁，∴CC₁⊥B₁D，
∵△ABC是等邊三角形，D是A₁C₁中點，∴A₁C₁⊥B₁D，
又CC₁⊥A₁C₁=C₁，CC₁?平面AA₁C₁C，A₁C₁?平面AA₁C₁C，
∴B₁D⊥平面AA₁C₁C，∴B₁D⊥CD，
由計算得：B₁D=2$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{5}$，∴${S}_{△{B}_{1}CD}$=2$\sqrt{15}$，…（9分）
設(shè)C₁到平面B₁CD的距離為h′，由${V}_{C-{B}_{1}{C}_{1}D}={V}_{{C}_{1}-{B}_{1}CD}$，得：
$\frac{2\sqrt{3}}{3}×4=\frac{1}{3}{S}_{△{D}_{1}CD}×{h}^{'}$，解得${h}^{'}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴點B到平面B₁CD的距離是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$． …（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．