Question

15．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為7，且${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+3（{n≥2}）$，則a₆=（　　）

• A． $\frac{193}{32}$
• B． $\frac{385}{64}$
• C． $\frac{161}{32}$
• D． $\frac{97}{16}$

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n-6}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a_n，則a₆可求．

解答 解：由${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+3（{n≥2}）$，得${a}_{n}-6=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-6）$（n≥2），
∵a₁-6=7-6=1≠0，
∴$\frac{{a}_{n}-6}{{a}_{n-1}-6}=\frac{1}{2}$，即數(shù)列{a_n-6}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}-6=1×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，即${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}+6$，
則${a}_{6}=（\frac{1}{2}）^{5}+6=\frac{193}{32}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列遞推式構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．