Question

5．在△ABC中，D為BC中點，AD=3．
（1）當(dāng)BC=4，AB=4時，求AC的長；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時，求△ABC周長的最大值；
（3）當(dāng)∠BAD=45°，∠CAD=30°時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用cos∠ADB=-cos∠ADC，建立方程，求AC的長；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時，周長l=6+6cosB+6sinB，利用三角函數(shù)知識求△ABC周長的最大值；
（3）當(dāng)∠BAD=45°，∠CAD=30°時，求出AB，AC，即可求△ABC的面積．

解答 解：（1）設(shè)AC=x，
∵cos∠ADB=-cos∠ADC，
∴$\frac{{{3^2}+4-{4^2}}}{2×2×3}=-\frac{{{3^2}+{2^2}-{x^2}}}{2×2×3}$，
∴$x=\sqrt{10}$；
（2）∠BAC=90°時，則BC=2AD=6
∴周長l=6+6cosB+6sinB，
$l=6+6\sqrt{2}sin（{B+\frac{π}{4}}）≤6+6\sqrt{2}$
∴最大值$6+6\sqrt{2}$當(dāng)且僅當(dāng)$B=\frac{π}{4}$成立
（3）

延長AD至E，使得AD=DE，∴ABEC為平行四邊形
∴$\frac{AC}{sin45°}=\frac{6}{sin105°}=\frac{EC}{sin30°}$，
∴$AC=3\sqrt{2}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）$，$EC=AB=3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）=AB$，
∴S=$\frac{1}{2}AB•AC•sin75°$=9（$\sqrt{3}$-1）．

點評 本題考查余弦定理、正弦定理的運用，考查三角函數(shù)知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．