Question

20．已知正數(shù)x，y滿足$x+4y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=10$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的取值范圍是[1，9]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=m$，則得到x+4y=10-m，根據(jù)基本不等式求出（x+4y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）的最值，即可得到關(guān)于m的不等式解得即可．

解答 解：$x+4y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=10$，
令$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=m$，
∴x+4y=10-m，
∴（x+4y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=m（10-m），
∵5+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=9，
∴m（10-m）≥9，
∴m²-10m+9≤0，
解得1≤m≤9，
故答案為：[1，9]．

點評 本題考查基本不等式的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確運用基本不等式是關(guān)鍵．