Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=2x-a，g（x）=x+2．
（1）當a=1時，求不等式f（x）+f（-x）≤g（x）的解集；
（2）求證：$f（{\frac{2}}），f（{-\frac{2}}），f（{\frac{1}{2}}）$中至少有一個不小于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的意義，分類討論，即可求不等式f（x）+f（-x）≤g（x）的解集；
（2）利用反證法證明即可．

解答 （1）解：當a=1時，|2x-1|+|2x+1|≤x+2，
$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-4x≤x+2}\end{array}}\right.$無解；$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{2≤x+2}\end{array}}\right.$，解得$0≤x＜\frac{1}{2}$；$\left\{{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{4x≤x+2}\end{array}}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤x≤\frac{2}{3}$．
綜上，不等式的解集為$\left\{{x|0≤x≤\frac{2}{3}}\right\}$．
（2）證明：若$f（{\frac{2}}），f（{-\frac{2}}），f（{\frac{1}{2}}）$都小于$\frac{1}{2}$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜a+b＜\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{2}＜a-b＜\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{2}＜1-a＜\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，前兩式相加得$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$與第三式$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$矛盾．故$f（{\frac{2}}），f（{-\frac{2}}），f（{\frac{1}{2}}）$中至少有一個不小于$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．