Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，并且經(jīng)過點(diǎn)M（-$\sqrt{2}$，1）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與圓O：x²+y²=1相切，與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率及待定系數(shù)法，即可求得a和b的值，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，求得丨AB丨，求得△AOB的面積，當(dāng)斜率存在，將直線代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式即可求得丨AB丨，換元，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△AOB的面積最大值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
b²=a²-c²=c²，
將M（-$\sqrt{2}$，1）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$解得：b²=2，a²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線l為x=±1，當(dāng)x=±1，y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，則丨AB丨=2丨y丨=$\sqrt{6}$，
△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l與圓O：x²+y²=1相切，則1=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，則m²=k²+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-4）=6k²+2＞0恒成立，
則x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{32{k}^{2}-8{m}^{2}+16}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{24{k}^{2}+8}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
則△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨•1=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{24{k}^{2}+8}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
令1+2k²=t，t＞0，則S²=$\frac{3{t}^{2}+2t-1}{2{t}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×[-（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{2}{t}$+3]，t＞0，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)t=1，即k=0時(shí)，S²取最大值為2，
△AOB的面積最大值為$\sqrt{2}$，
綜上可知：△AOB的面積最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．