Question

15．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足：2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求C；
（2）若a=2，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得2cosCsinC=sinC，結(jié)合范圍C∈（0，π），sinC≠0，可求cosC=$\frac{1}{2}$，即可得解C的值．
（2）由已知利用三角形面積公式可求b，進(jìn)而利用余弦定理可求c，即可得解三角形的周長(zhǎng)．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵2cosC（acosB+bcosA）=c．
∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC．
整理可得：2cosCsinC=sinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴解得：cosC=$\frac{1}{2}$，C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=2，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×b×sin\frac{π}{3}$，
∴解得：b=3，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}-2×2×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴△ABC的周長(zhǎng)l=a+b+c=5+$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．