Question

7．f（x）=x²-2x+alnx．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-2x+2lnx，求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程．
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+a}}{x}$（x＞0），令h（x）=2x²-2x+a，通過(guò)△=4-8a，討論$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，a≤0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-2x+2lnx，∴${f^'}（x）=2x-2+\frac{2}{x}$，
∴f'（1）=2，f（1）=-1，∴切線方程為y+1=2（x-1），即2x-y-3=0．
（Ⅱ）$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+a}}{x}$（x＞0），
令h（x）=2x²-2x+a，△=4-8a，當(dāng)△≤0，即$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）≥0，此時(shí)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；$當(dāng)△＞0，即a＜\frac{1}{2}時(shí)，令h（x）=0，得{x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}$．
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，0＜x＜x₁或x＞x₂時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
x₁＜x＜x₂時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)a≤0時(shí)，0＜x＜x₂時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，x＞x₂時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述：$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在$（0，\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}）$，$（\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}）$上單調(diào)遞增；
a≤0時(shí)，f（x）在$（0，\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題畫出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．