Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）見(jiàn)解析

【解析】

(1),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最小值，證得函數(shù)的最小值大于0；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值和極值，進(jìn)而得到參數(shù)的范圍.

證明：當(dāng)時(shí)，.

令則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，

即

故當(dāng)時(shí)，成立，

，由得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)減，在單調(diào)增，

所以是函數(shù)得極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，

即

當(dāng)，即時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，

當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)；

由，得，令，則得，所以，于是在在上有一個(gè)零點(diǎn)；

因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；

時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；

時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).