Question

如圖，已已知AB圓O的直徑，C、D是圓O上的兩個(gè)點(diǎn)，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．
（Ⅰ）求證：C是劣弧BD的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求證：BF=FG．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證明C是劣弧BD的中點(diǎn)，即證明弧BC與弧CD相等，即證明∠CAB=∠DAC，根據(jù)已知中CF=FG，AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，我們易根據(jù)同角的余角相等，得到結(jié)論．
（II）由已知及（I）的結(jié)論，我們易證明△BFC及△GFC均為等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，進(jìn)而得到結(jié)論．
解答：解：（I）∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圓O的直徑
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C為劣弧BD的中點(diǎn)（5分）
（II）∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可證：CF=GF
∴BF=FG（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)圓周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根據(jù)AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，找出要證明相等的角所在的直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．